2022年数学趣题# 一道来自网友@koko 咨询的趣题：正五边形内一点，连接各顶点，分割面积如下，求未知部分的面积大小。

解题方法一：yuange万能通用解法

更一般性的结果。
正n边形内一点，到相邻4顶点（如果是正三边形有2点重合）连线形成的三个相邻三角形，面积分别是a、b、c。
则正n边形面积Sn=1/2n(a+c-2b*cosx)/(1-cosx)，x=2PI/n。

S3=a+c+b
S4=2(a+c)
S6=6(a+c-b)

特别地如果a+c=2b，Sn=nb。对此题就是1+3=22，Sn=52=10，S=4。

解：
如图3正n边形内（图是正5边形，正n边形上面加边就是不影响）一点P，S三角形PEA=a，S三角形PAB=b，S三角形PBC=c。求正n边形面积Sn。

对于n大于4，如图3延长EA、CB交于F，正n边形中心O。

角AOB=角FAB=角FBA=x=2PI/n。

S三角形FAB
=S三角形PAF+S三角形PBF-S三角形PAB
=aFA/AB+cFB/AB-b
=(a+c)/(2cosx)-b
=1/2AB(AB*sinx/cosx)

Sn
=n*S三角形OAB
=n1/2AB(ABcos(x/2)/sin(x/2))
=ncos(x/2)/sin(x/2)cosx/sinx*((a+c)/(2cosx)-b)
=n/4*(a+c-2bcosx)/(sin(x/2))^2
=1/2n(a+c-2b*cosx)/(1-cosx)

检验对于正三边形和正四边形都符合此公式。
所以：
Sn=1/2n(a+c-2b*cosx)/(1-cosx)，x=2PI/n。

特别的如果a+c=2b，Sn=nb。

评：三角函数是yuange的最爱，图形皆可函数化。

解题思路二：大罕的黄金分割

黄金比，优雅计算
大罕
有跟帖说：此题“由正五边形边长的黄金比，易得所求面积为4”．易得，真的“易得”吗？

把长为1的线段分成两段：x、1-x(x>1-x)，满足x∶1=(1-x)∶x，解得x=(√5-1)/2. 我们称这个分割为黄金分割，把Φ=(√5-1)/2称为黄金比.
      正五边形与黄金比有着千丝万缕的联系．
      图5为正五边形ABCDE，在△ACE中，由正弦定理，有
      EA/EC=sin36°/sin72°=1/(2cos36°)
  =(√5-1)/2=Φ.
      即正五边形的边与对角线之比是黄金比．

      以下作一次有趣的历程：
      作平行四边形EAMC，△BMC∽△EAC，
      ∴BM/AB=BM/BC=EA/EC=Φ. 遇见黄金比．
      注意到
      S(△PBM)/S(△PAB)=BM/AB=Φ, 
⇒ S(△BMP)=3Φ，再见黄金比．
      设△DEC面积为S，
      S(△CBM)/S(△CAB)=BM/AB=Φ,
 ⇒ S(△BMC)=SΦ，又见黄金比．
 ⇒S(△CPM)=S(△CPB)+S(△CBM)-S(△PBM)=3+SΦ-2Φ，

      由此，可用两个方式计算平行四边形EAMC的面积之半:
      S(△EAP)+S(△CPM)=1+3+SΦ-2Φ， ①
      S(△CAB)+S(△CBM)=S+SΦ，           ②
      由①、②得：4+SΦ-2Φ=S+SΦ，
解得S=4-2Φ，漂亮的结果！                       
      注意到S(正五边形)=3S+SΦ=(3+Φ)S，如图6，
      ∴S(正五边形)=(3+Φ)(4-2Φ)
     =12-2(Φ+Φ^2)=10 (这里用到了Φ+Φ^2＝1)，
      ∴S(EPCD)=10-(1+2+3)=4. 

  优雅计算，斩获成功！

解题思路三：最本质也是最简单的方法 - 大罕

最本质也是最简单的方法，如下文所示。

  不禁想起鲁迅(1881-1936)的诗句：“于无声处听惊雷”。此句直接翻译是：从表面沉寂中，听到天上的惊雷(原诗象征着革命春雷的萌动）。
  解题灵感的获得，可比喻为：于无声处、百思不解之时，忽然听到“惊雷”。由此大彻大悟。此处的“惊雷”，即等腰三角形一性质：“底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高。”

      解：作直线PO∥AB，交线段AB的中垂线DF于点O，则直线PO、EA、CB围成一个等腰三角形(蓝色)，如图3，
      作PM⊥EA、PN⊥CB、OG⊥EA，垂足分别为M、N、G，
      易知PM+PN＝2OG（等腰三角形性质），
      ⇒S(△APE)+S(△BPC)=2S(△AOE)=1+3=4，
      ⇒S(△AOE)=2，
      ∴S(△AOB)=S(△APB)=2，
      ⇒S(△AOE)= S(△AOB)，⇒OG=OF，⇒O是正五边形的中心。
      直线PO、DE、EC也围成一个等腰三角形(蓝色)，如图4，
      同理可知，S(四边形PEDC)=S(△PED)+S(△PDC)=2S(△DOE)=4.